Chapter 1 《欧几里得》第一卷 定义
可讨论的样题
在好奇的探究并且与他人讨论欧几里得的书的时候，大量的问题会涌现出来。问题会引起问题，思考（问题的）答案会引起更多问题并夹杂着顿悟。定义、公设、公理，作为（欧几里得）系统的基础，也会引起大量的问题。这里仅提供一些例子。你将会有更多且不同的、属于你自己的问题。你将会跟随不同的线索思考。
提供这些样题只是为了向你展示大家（你或者你同学）可能会问的问题，为了你们自己的参与，它们是完全可以被忽略的。
样题：定义
什么是一个定义？
定义对于我们的作用是什么？定义会建起（他们的）存在么？当我们看到事物的时候，定义能告诉我们怎么认出他们来么？思考一下独角兽的定义吧。【宣棋注：wiki-独角兽，是一種傳說生物，形象通常為頭上長有独角的白馬。】
像点、线等等这样的存在是什么？这些是你能够看到的么？如果点、线这些并不是你能用眼睛看到的存在，是有另外一种“看到”么？
这些存在将与一个合乎逻辑的结构非常紧密的结合在一起，而且在近千年来，这个结合已经成为了一个人们发现并且揭示真理的模式。人们将欧几里得的几何学视为一个经典范例，关于一个准确的系统如何向你提供可信任的准确结论的经典范例。但是，如果欧几里得的几何学是建立在不能被看到的、甚至根据定义并不存在的事物之上，我们应该如何得到可确定的事实？
几何存在和现实的关系是怎么样的？几何存在是可以想象的吗？一个被视为作为标准用以衡量真理的系统，是可以建立在虚幻的事物之上么？柏拉图声称数学物体是真实的，并且在一定意义上，是比我们所能感知到的事物更真实的存在。(参考前文关于柏拉图分割线的讨论) 我们有比较有用的分辨准则去区分真实的事物和实际的事物么？（真实的事物和实际的事物）是现实的不同类型么？几何存在应该被归到哪一类呢？【宣棋注：这里的两类，英文分别是true以及real，作者在问他们是否是reality的不同类型。】
1.1 定义一
点是没有部分的。
问题：
这个定义讲了什么，没有讲什么？
如果你来写一本关于几何基本原理的书，也从某个你想要研究的对象的定义开始，你会提出什么样子的定义？（这里的想法是，在你的头脑里仔细考虑或和其它正在尝试独立思考清楚这个问题的人进行讨论）
什么是一个“部分”？这里的没有部分是指的不可分割性么？还是点指的不是一个数学意义上的量？
没有部分的事物能够存在么？
整个系统从一个被描述为否定的存在开始，这对你来说奇怪么？我们并没有被告知点是什么，但是却被告知点不是什么。或者这样问，否定的存在真的很显然地告诉了我们某肯定的存在么？
接下来的定义，特别是第三条和第十六条，有帮助么？他们有使点的定义更清晰么？他们有改变你关于点最初的图像么？看点是如何进一步被使用的，对呈现一个关于关于点如何被定义的动态图像有帮助么？这有容许你用其它方式去思考一个定义的要义么？是什么样的方式呢？
“没有部分”有容许你去区分不同的点么？难道点应该有个位置看起来不重要么？为什么欧几里得没有选择用位置来定义点？或者这样问，这有没有告诉我们关于定义的某些性质？定义本身，也许是，最毫无遮掩的识别标志；事物可能是之后被发现或被定义的性质，如同事物的功用一样，往往指明被使用的情境。
宣棋随记
定义应该是什么样子的？用我们看到的表象去形容一个存在是一种定义么？描述一个存在应该具有的性质是定义么？描述一个存在会产生的效果和作用是定义么？我知道这个水果是苹果，可是苹果的定义是什么？为什么我看到苹果的一瞬间就知道这个是苹果？我真的有套用定义去判断这个水果是不是苹果么？对于苹果和梨嫁接长成的水果，我叫它苹果梨，我认为这是一种看起来像苹果但吃起来像梨的水果，在我自己的认知当中，我是怎样定义的？对于苹果梨，我可以看的一瞬间进行判断么？还是必须尝过之后才能判断？你应该能举出更多相似的例子来思考这个关于定义的问题，或者说关于对事物的认知的问题。
为什么我们需要一个定义？定义可以代表，或者说总结归纳出我们对事物的认知么？
个人觉的，定义，作为语言一个应用，是由简化人沟通成本的需要产生的，定义本身意味着一种区分的需要，是什么与不是什么都是进行区分的一种表达，当是与不是作为唯二的选择时，我们是可以用否定是承认一个肯定的存在的。但当“是某存在”下属又可以细分无数种的时候，我们是不可以用否定来定义的，因为会造成“某存在”下属无数种之中的混淆。
为什么欧几里得可以用“没有部分的”这个性质去定义点的存在呢？用性质定义存在，宣棋认为只有在一种情况下可以成立，那就是被用于描述的（一个或一些）性质是这个存在的唯一（些）性质。这个性质表述唯一的特点与上段提到的“唯二选择”是逻辑自洽的。
编者问到这个定义是否能够帮助我们区分不同的点，对于苹果来说，是有不同品种的，有红苹果，青苹果，脆苹果，“面”苹果，但是对于点来说，会有这样的点和那样的点的区分么？如果没有的话，我们是不是就可以说，点是不可再进行区分的最基本的一个存在？作为定义的第一条，我们是不是就是想要这样一个不能再具体的定义呢？在现代数学的早期，微积分出现时，有了无限近、无限小的概念，无限的概念是如何与点的概念融合的呢？
1.2 定义二
线是没有宽度的长度。
问题：
- 长度是一个事物么？某物的长度，还是听起来更像是事物的一个性质呢？
- 对于“没有宽度”的部分，你有什么想法？如果你画任何事物都是有宽度的，所以就像点一样，线也只能被想象出来么？但是如果线是想象出来的，它是真实的么? 或者说，线是一个抽象概念，和我们画的线是一样的，只不过我们将其描绘的更细，越来越细，直到其没有宽度为止。亦或是，线是柏拉图学派的理想概念，它的存在像是更完美的事物，所以它也比我们粗糙的铅笔画更真实？
- 当我们从作为框架的基本原理出发，推导事物性质的时候，我们应该如何理解我们在做的推导？尤其是这过程与之后我们进入命题时要做的相像。
1.3 定义三
线的极端是点。
问题：
- 如果说线的端点是点，这能说明点是线的一部分么？这会不会是指线是由点构成的呢？但是，不是的，如果点本身是没有部分的，这点构成线似乎是不可能的。那么，我们可以说线包含着点么？
- 我们现在有没有得到一个关于点，像是真实的事物一样，更清晰的图像？比点仅仅是不可分割的事物或不存在的量的概念更加清晰？现在点正在做一些事情，而且点作为某存在，对线的分段的终结标记进行命名。为了得到这样一个肯定的定义，在欧几里得可以通过否定来构造没有宽度的线之前，他必须从否定的没有部分的点出发么？
1.4 定义四
直线是线，这条线均匀地铺于其（线）上的点。
问题：
- 点在线上，线平坦地伸展开来，这是什么意思？我们如何明白它的含义？在画关于线的图像时，我们需要先画出内有颠簸的线，然后再取它的相反情况么？还是说这个定义取决于前面关于直的概念？
- 还是说，这个定义取决于叠加的概念？想象线的一部分叠加在另一部分上，在线的均匀性上，是找不到叠加部分的开始的。但是不，这是不行的，因为我们也可以叠加圆的一段弧线到另一段弧线。
1.7 定义七
平面是面，这个面均匀的铺于其（面）上的直线。
宣棋随记 以上所有问题中，私以为最有意思的是关于线与点关系的，如果说点是没有部分的，点又可以都被置放在线上，被点连成的线是有长度的，那么长度是什么？点作为没有部分的存在，有秩序的聚少成多之后为什么会有一个新的性质，这是质变么？那么这个质变是单纯地由点引起的么？“均匀的平放”作为组织点的秩序与长度是什么关系？还有，我们可以说新的界定词—长度，是有部分的么？另外结合最近在读的戴德金关于数字连续性的论文，如果说线上的每一个点都是一个数字，那么这些数字聚在一起后，这个与线相对的数学概念是什么？戴德金证明了无理数的存在，并且证明了数字的连续性，却没有提到：在数字与几何的对应中，直线作为更高一级的存在，怎样通过代数表现。
1.10 定义十
当一条直线置于另一条直线上，并使得两个相邻角互等，每个角都是直角，置于另一条直线上的这条直线被称为垂直于另一条直线。
问题：
这是我们第一次谈到相等，这里是角的相等。在开始之前，我们需要知道相等是什么意思么？我们怎么知道两个角是相等的呢？在调用这个定义之前需要先证明两个角相等么？
这个定义是不是有点像一个命题？我们被给予一个构建：设置一条直线于另一条之上；如果相邻两个角互相相等，那么两个角都是直角。但是这是一个定义，并不是一个命题。难道不是更应该说那些相等的邻角被“定义”为直角么？
还有，这难道不是一种很奇怪的方式去定义什么吗？在我们我们完成构建并且证明两个角相等之前，我们并不知道什么是直角还有垂直。这个构建引出的结果是什么呢？或者你可以对这个定义的建立方式说些什么？现在我们有没有对什么是定义有一种更复杂的感觉？
1.13 定义十三
界限是事物的极端/边缘。 (参考：边界是事物的边缘)
问题：
现在我们回到了关于边界（boundaries）和界限(limits)。第一次是在定义三当我们被告知线的极端是点时。
但是这个定义的含义是什么？这是不是一个同义反复？这里有目的？告诉我们用相同的方式使用同一个词？还是说这里对进行了一个区分，极端（extremity）用来解释界限(boundary)？
1.14 定义十四
图形是被任意界限（们）包围住的。（参考：图形是被一个边界或几个边界所围成的。） 问题：
- 我们注意到这里的图形并不是外在的界限或者边缘，但是是被界限围住的。这和人们平时作画时所说的“圆”和“正方形”有什么不同么？
宣棋随记
关于extremity，回顾定义三，定义六，将其和定义十三放在一起看：
- 定义三：线的极端(extremity)是点。
- 定义六：面的边缘(extremity)是线。
- 定义十三：界限是事物的极端/边缘(extremity)。原本考虑过翻译成极限，但是觉得很奇怪，于是对于线点的关系用了极端，端本身就有点的含义，而面线的关系用了边缘，边本身带了线的意味。而定义十三归纳出一个通用的定义时，就不好抉择如何翻译了，于是用“/”将两者都注上。
注释一下定义十四附加的问题，一个正方形，当我们说起正方形的时候，我们谈到的是四个边，还是被边围起来但不包括边的内在，还是两者的结合？
定义十三及十四的参考内容取自2003年陕西科学技术出版社的《几何原本》
1.15 定义十五
圆是一个被一条线围成的平面图形，所有从这条线到图形内一点的线段彼此相等。
问题：
为什么我们有这条定义？这是你描述圆是什么的方式么？好像需要花费一点精力来明白他在说什么（尤其是如果你还不知道圆是什么的情况下）
能帮助理解这个奇怪的公式化表达的一个提示，这是一个图形，也就是说，这是被界限围成的存在，而不是界限本身。如果你需要定义的是内在的空间，你是否需要类似欧几里得的措辞？
这里是我们第一次涉及到线段的相等。我们已经知道线段相等的含义了么？就像是定义十中我们被期待的那样，理解了角相等的含义？根据这个定义，在命题一中，我们将要绘制断言相等的线段。
1.17 定义十七
任意一条穿过圆心，并两边都在圆周上终结的直线被称为圆的直径，并且直径将圆一分为二。
问题：
直径将圆一分为二这个说法，似乎引入了面积的相等。这是一个非常有趣的概念，并且会在第一卷书中得以发展。这里的古希腊语原意是：圆被切成两部分，化为碎片，分开的。【此处因字体不支持的原因省略古希腊语原文】你认为翻译成“bisect” （一分为二）是在断言两部分面积相等么？这个断言是否应该是一个需要证明的命题呢？或者说，如果这是不能被证明的，至少应该是一个假设？（然而事实上，在《几何原本》十三册书中，欧几里得从来没有依赖这个等分的性质：他没有默认证明它也没有用在证明其它的步骤里。）
这就让我们回到了早先的问题，什么是一条定义。定义的目的是什么？它只是以一般的方式告诉我们他如何运用术语么？我们被期望早已与这些几何客体熟悉么？还是他只是在提醒我们？或者，他说如果它们存在，这是它们应具有的性质？还是其它什么呢？
1.22 定义二十二
在四边形中，四边互等且四角均为直角的是正方形；四边不等但四角均为直角的是长方形；四边互等但四角不为直角的是菱形；对边对角相等但四边不全相等且不为直角的是平行四边形；其余的四边形是不规则四边形。
1.23 定义二十三
平行直线是在同一个平面，向两个方向无限延伸并互不相交的直线。
问题：
有趣的是，这里有一个否定。如果说这里有两条线永不相交，那么他们就被称为平行了么？（我们将在之后的公设部分回到并且拓展这个著名的问题）
如果我们想积极地表达呢？我们可以说两条线保持相等的距离么？然后也许我们可以通过显示两点之间的相等距离来证明两线平行。当然我们现在还没有实现它的基础工具。你能想出其它积极的定义么？
有趣的是，欧几里得这条定义的方式要求我们去思考无限。他们在这里或者那里不相遇是不够的的：他们必须永不相遇，无论在任一方向延伸多远。我们怎么知道他们永不相遇呢？甚至我们怎么可以思考那些让我们走向无限的事情？