Chapter 2 《欧几里得》第一卷 公设与公理
2.1 公设
让下列内容被设定：
公设一：可以从任意一点到另一点画出直线。
公设二：可以在一条直线上连续不断地延伸一条有限的直线。
公设三：可以以任意圆心和距离画圆。
公设四：所有的直角彼此相等。
公设五：如果一条直线与两条直线相交，并且使得在同一侧的两个内部角的和小于两直角，那么这两条直线，如果无限延伸的话，一定会在该侧相交。（宣棋注：内部角不是以左右区分内外，而是两条直线之间对冲的内角。）
可被讨论的问题示例：
什么是假设？它们与定义如何不同？与接下来的公理呢？与接下来的命题呢？古希腊语术语公理是从动词的要求或乞求而来。这是些请求，被求来的事物，如果我们信赖出自古希腊语的词根含义的话。【此处古希腊语原文因字体显示原因省略】
我们看到这里有两种假设。前三条是构建，而后两条是特定几何物体如何表现的声明。
前三条假设是在做什么呢？他们是在说这些事物的构建是可能的么？还是什么其它？
前三条假设似乎关于做什么事情的能力。接下来的前三个命题也是关于做。做和知的关系是什么？在知某事之前你需要先做此事么？
这前三条假设要求我们画直线，延长直线，还有“绘制”圆。这些是在物质世界中还是在思想中被绘制呢？在用想法“绘制”和仅仅沉思之间有什么区别么？
如果是在思想中绘制，那么几何基本工具，直尺和圆规的重要性是什么？如果我们用铅笔、圆规还有直尺做的图很重要，这是什么方式呢？查阅后文以了解，用来绘制假设1-3中所要求内容的工具。
我们是在讨论（我画）这个活动么？还是（我可以画）这个可能性？还是（我思考绘制被完成）这个沉思？还是什么其它的呢？
第四个假设，即所有直角都相等，看起来是否奇怪？也许它更像是接下来的公理，全都是关于相等的。不仅如此，难道所有直角都相等不是显然的么？
事实上，这难道不是词义反复么？因为定义十在定义直角的时候，你已得到两相邻角互等。并且那儿我们已经被告知，此相等的角被称为直角。既然这里始终有一个因果性，相邻角相等则均为直角，直角怎么能不全都相等呢？还是这里的假设可以说一些比定义更多或者与定义不同的内容呢？在这个案例里，会是什么呢？
第五假设像是一个彻底的偏离。很多文字，很复杂的设定，一个如果-那么的构建。这样的复杂性暗示着什么？这个不能用一种更简单的方式表达么？这种公式化的表述做了哪些简单方式所不能的呢？
最后两个假设像是在声明需要证明，如果它们可以被证明的话。但是，也可能，除了在他的系统里是真的以外，他们是不能被证明的，所以只能被写成假设。随着本书的展开，会有更多的机会考虑这一点。
第五假设是定义二十三的某种逆向存在么？“平行线”，他指的是像定义二十三中构建的那样的不相交的线，而不平行线则是具有这里所陈述的性质的一对线，也就是如果同侧内部角小于两直角就在此侧相交的线。或者，如果这不是一个逆向存在，你如何来形容第五假设和定义二十三的关系呢？为什么我们需要第五假设？
宣棋随记 一边翻译这些问题一边忍不住想要用自己的理解来做出回应，忍的很辛苦，不如再添加几个相关的问题：如何理解数学是一门语言这个说法？数学被发现（或者被创造）的本质是否也是沟通呢？你能不能用第五假设为例来阐述你的观点？
2.2 公理
公理一：与同一事物相等的事物们彼此互等。
公理二：如果向相等的量添加相等的量，整体始终相等。
公理三：如果从相等的量减少相等的量，剩余的量始终相等。
公理四：彼此重合的事物相等。
公理五：整体大于部分。
可被讨论的问题示例：
这些“公理”是怎样的一些主张？他们如何不同于定义还有假设？
为什么欧几里得将之称为“公有的”？（“common”）
为什么除了最后一个之外的都直接涉及相等？为什么相等看起来如此重要？
这一组公设有给我们一个清晰的图像——什么是相等么？
第四个公设给予我们一种建立相等的直接方式：重合。如果事物重合，他们就是相等的。但是这个重叠是在物质世界，还是在思想中？
你会如何使得事物重合，或者如何证明事物重合？我们是否可以通过使直角互相重合来省略第四假设关于直角的相等？可不可能欧几里得看不到该如何做，所以提出了第四假设呢？
在四条公理之后，我们获得一个关于“大于”的陈述，以涵盖多与少的情况。你认为欧几里得可以通过此一原则的胚芽构造出他想要的关于大小的一切么？