Chapter 11 第十课（命题十七到二十）

11.1 命题十七

在任意三角形中，以任意方式取任意两角，其两角（之和）小于两直角。

对于命题十七，Alex提出了他的想法：如果有两个直角，那么两条线是平行线，不会相交，也不能构成三角形。所以三角形里的任意两个角一定小于两个直角。就像公设五中所写的，在两个内部角的和小于两直角时，在同一侧必然相交。自然而然，如果必然相交，则必然有三角形。对于公设五，若两个角大于两直角，那么另一侧则是小于两直角，也就是说另一侧会相交。但是却忽略了内部角等于两直角的情况。如果我们查看定义二十三：平行直线是在同一个平面，向两个方向无限延伸并互不相交的直线。这里也没有提到与第三条线垂直相交时的特殊性质。因此我们还是需要证明，这里的问题就变成了：可以不可以通过对定义二十三和公设五的应用推导出命题十七？

这个问题并不好回答，我们查看这个逻辑链会发现最困难的还是第一步，两个直角=>平行线，因为平行线=>不相交(定义23:平行的性质) =>不能构成三角形(定义19，需要三条边围成三角形)。那么关键就是通过公设五能不能推出直角=>平行线。

我们是否可以推出两直角=>不在任一侧相交 => 平行呢？而这里拆到最后，关键就是“两直角=> 不相交”这一步。这就是逻辑学上p->q，是否能得到﹁p→﹁q (﹁表否定)，也就是“非两直角=>相交” 与“两直角=> 不相交” 是否有等价关系。但是逻辑上，p→q≡﹁q→﹁p，也就是说，与“非两直角=>相交” 等价的是“不相交=>两直角” 而不是“两直角=> 不相交”。

在这里必须额外补充逻辑学上p->q；﹁p→﹁q；﹁p→﹁q之间的关系：

p->q，说明p是q的充分条件，也就是说今天下雨，空气湿度高。我们并不能得出今天不下雨，那么空气湿度低，因为在下雾，下雪等等都可能导致空气湿度高。但是我们可以说空气湿度低，今天没下雨。空气湿度高不一定是下雨导致的，但是空气湿度低一定没下雨。

所以在公设五成立的条件下，我们也不能说“两直角=>平行”，但是我们可以说“平行(不相交)=>内角和两直角(不小于两直角)”。

其实我们只要把公设五的条件和结论对调，就是命题十七：

公设五：如果一条直线与两条直线相交，并且使得在同一侧的两个内部角的和小于两直角，那么这两条直线，如果无限延伸的话，一定会在该侧相交。

对调：如果两条直线无限延伸在某一侧相交，那么与第三条直线相交所产生的内部角之和小于两直角。

命题十七：在任意三角形中，以任意方式取任意两角，其两角（之和）小于两直角。

如果说有差别，那么唯一微小的差别就是，两直线相交，和已与第三条线一起构成了三角形的差别。

所以公设五和命题十七放在一起，似乎是对互为充分必要条件的说明，只不过一个没有办法证明，以公设的形式出现，而另一个在偏后的位置，已经可以证明了。我想这里没有以公设的方式说明命题十七，也是尽可能减少公设的缘故。毕竟如同我们解释命题十三和十四这一组，互为充分必要条件也是通过证明而不是默认了它的存在。而证明的方式，是尽可能的相对少的运用有争议的公设以增强说服力。

11.2 命题十八 & 命题十九

在任意三角形内，长边对大角。

在任意三角形中，大角对长边。

命题十八和十九又是一组充分必要条件的互相证明，这是必需的。就论证方式来讲，命题十八是在之前命题基础上的正向证明。而命题十九，我们可以仔细看看这一段的逻辑：

命题十八是说，长边->大角。也就是短边->小角。

值得注意的是“长边->大角”和“短边->小角”是同义反复的关系。也许乍一看似乎﹁长边→﹁大角 = 短边 -> 小角，但其实不是的。这里有一个误区，因为命题十八中被省略的条件是：相等和不等。任意三角形内的任意两边，如果不等的情况下，则长边对大角。即短边对小角与长边对大角都是推论，它们的关系同义反复，而不是对立否定。

因此欧几里得在命题十九中用命题十八的时候是用了短边->小角，即原命题的同义反复的说法：

原文：AC也并不小于AB，因为那样的话角ABC应该小于角ACB；【I.18】但是并不是，所以AC并不小于AB

释义：AC一定大于AB，因为如果AC小于AB，那么角BCA比角ABC小。但是现在角BCA比角ABC大，所以AC大于AB。

11.3 命题二十

在任意三角形中，以任意方式取任意两边，其两边之和大于第三边。

这道题的证明上，Alex再次提出：因为两点之间直线最短，所以三角形的任意两边之和一定大于同样两点之间相连的直线底边。然而问题是，两点之间直线最短这个定理本身就是从命题二十延伸出来的，在此之前并没有这样的定义公理或者公设。我们只说两点之间必有一条直线，但从来没说过这个距离是各种情况下最短的。而命题二十其实是侧面在补充说明这个问题，对比了一条直线和两条直线的情况。所以命题二十不能倒过来用两点之间直线最短来证明，因为两点之间直线最短，本身还需要补充说明曲线和直线的比较，多折线和直线的比较等等，而这些都是直观现象并不是已经被定义或者被证明的东西。

在今天的证明题中，我们发现欧几里得经常以三角形和线段为媒介，将需要比较、证明的量进行转化和填补，然后运用之前的命题来完成证明。这个方法在初中几何中是通用的，创造等角，等三角形，公共边，等量线段等等来辅助证明。如果有的题不知道怎么做，可以从尝试添加辅助线以构建等角等边等三角形开始。

参考作业：

这时我们也会思考一个问题，是否可以相信我们的眼睛，视觉看到的是否就是真实的？参考天才画家M.C.Escher的作品《升与降》的例子：