Chapter 18 第十七课（命题四十三到四十五）

18.1 命题四十三

在任意一个平行四边形中，关于对角线的补形互等。

这道题用一句话概括就是反复套用公理三，等量减等量再减等量的余量始终相等。一组全等三角形减去两组小全等三角形，剩余的四边形面积仍相等。证明题不难，记住新的概念补形指代的区域即可。另外就是这道题很形象的诠释了面积和形状分离的概念。两个补形面积相等但形状不同，隐含着数学中相等的概念侧重于面积(质)而非形状(形)，数学想要思考和比较的内容是超越视觉意识的。

18.2 命题四十四

用给定的线段和直线角作平行四边形，使等于给定的三角形。

命题四十四是前面命题四十二的升级版，命题四十二在限定与已知三角形同底的情况下，限定角的大小和面积画平行四边形，这里命题四十四，将底边的位置再一次进行了一个挪动，也就是与三角形更彻底的分离开来，只保留面积上的关系，而彻底没有了位置上的联系。结合之前的命题来看，可以发现欧几里得的证明都是最终走向独立性的，发现联系，同时又让它们分离能独自存在而不受干扰。那么为什么这道命题没有在证完四十二之后紧接着证明呢？此处复习一下之前讲过的内容。因为命题四十三也是推理的一部分，而命题四十三被单独出来，也说明它有自己独立存在的价值，可能在后面会被其他证明反复引用。如果我们将第一卷整卷内容放在一起，抽调所有的命题声明，那么本身也是一个大的论述，然而我们将它又切割成不同的部分，进行声明，是为了更好的对某一个部分的反复使用，便于定位和查找。(编程写代码也是同样的道理)

18.3 命题四十五

** 用给定的直线角构建平行四边形，使等于给定的直线图形。**

命题四十五进一步的突破限制，不仅要将已知和所求完全分离开，并且要对已知部分进行不规则的重定义。图形突破了三角形的限制，而是等于任意直线形即可。而这里最有趣的方法在于分离和重组。也就是说可以先满足其它条件分别画线段和图形，在后再倒过来用证明直线角等于两直角，所以是同一条直线的方式再将分离的图形合并到一起。这个小技巧同样适用于初中几何习题的练习上，在画辅助线的时候是做延长还是先满足其他条件然后再证明是在延长线上，这就是个选择的技巧性问题了。

命题四十五是正方形出现之前的最后一道命题，这道命题以一个再创造收尾，尽管我在重复强调这一点，但是这个哲学问题真的很重要，值得一再地思考：数学的意义是什么？